同构于硬币找零问题，相当于问硬币系统(1,a,b)何时是规范的。
约定：在不额外说明的情况下，下面的小写字母都代指一个正整数。符号“/”代指整型除法运算，符号“%”代指取余运算，即满足b=(b/a)*a+(b%a)。
我们先从简单的情形开始试试手：
1.硬币系统(1,a)是规范系统。
显然如此。我们这样看待问题：假设贪心解不是最优解，那么最优解一定是使用了更少的a。但每少使用1枚a，就要多使用a枚1，从而不可能比贪心解更优，矛盾！
2.硬币系统(1,a,k*a)是规范系统。
对于1≤m<k*a的目标m，相当于要证明系统(1,a)规范，这是已证明的；
对于m≥(k+1)*a的目标m，贪心解至少包含1枚k*a，从而如果贪心解对于m'=m-k*a最优，那么它对于m也最优。这意味着，如果贪心解对m不是最优，那么一定存在某个k*a≤m'<(k+1)*a的目标m'，使得贪心解对m'不是最优。只需验证k*a≤m<(k+1)*a的目标m：
显然，在这时，贪心解使用1枚k*a和若干枚1。假设贪心解不是最优解，那么最优解一定是使用了更少的k*a而用a和1来代替。但每少使用1枚k*a，就要至少使用额外k枚硬币（至少用k枚a来替换1枚k*a），从而不可能比贪心解更优，矛盾！
现在进入正题：
3.硬币系统(1,a,b)是规范系统，当且仅当以下条件之一成立：①b%a=0，或者②(b/a)+(b%a)≥a。
①是在2.中已证明过的情形，下面考虑②。与2.同理，我们只需验证a≤m<a+b的目标m：
记m=b+t，贪心解为：1枚b、t枚1，总共使用g(m)=1+t枚硬币。
设x=m/a、s=m%a，这里s是非负整数。不使用b的最优解候选为：x枚a、s枚1，总共使用f(m)=x+s枚硬币。
注意这里的构造方式：若贪心解比这个解更差，那么贪心解必定不是最优解；若贪心解比这个解更优，由于其他非贪心解（不使用b）的解不会比这个解更优，那么贪心解必定是最优解。因此，为了使贪心解是最优解，我们需要解不等式g(m)≤f(m)。
设b=k*a+r，其中k=b/a、r=b%a，这里r是非负整数，我们有m=k*a+r+t。注意0≤r,t<a，我们有0≤r+t≤2*a-2，从而(r+t)/a=0或1。记q=(r+t)/a，我们有：
m=(k+q)*a+(r+t-q*a)
从而x=k+q、s=r+t-q*a。代入不等式：
1+t≤(k+q)+(r+t-q*a)
→k+r≥1+(a-1)*q
若q=0，则不等式恒成立；若q=1，则不等式化为k+r≥a，这正是条件②。