求二阶导可以判定f(x)=1/sqrt(1+e^x)在x＜ln2时上凸。也就是当三数均＜2时直接琴就完了。
若有≥2的,视≥2的个数证明 2/sqrt(1+1/t)+1/sqrt(1+t²)≤3/sqrt2 （t²≥2）和 1/sqrt(3)+1/sqrt(1+t)+1/sqrt(1+1/2t)≤3/sqrt(2) (t≥2).
前者是根据上凸把两个＜2的点挪到一起，后者是根据下凸把≥2的两点挪到边界。
最后，单变量函数，剥蒜吧。

换元，令a=x/y，b=y/z，因为abc=1，所以c=z/x。
式子第一项=根号下（y/(x+y)）
柯西不等式缩放，(根号下（y/(x+y)）+根号下（z/(y+z)）+根号下（x/(z+x)）)^2 ≤ 3（y/(x+y)+y/(x+y)+y/(x+y)）≤3/2
两边都是正数，两边开方，得证原式

齐次换元a=x/y，b=y/z，c=z/x
由于齐次，不妨x+y+z=1
每个项分别提出(y+z)/2，(z+x)/2，(x+y)/2作为权，使用f(x)=√x（上凸）相关的加权琴生不等式，之后不难

3L 给的基本上是 x + y + z 固定，f (x) + f (y) + f (z) 最值问题的通法。
也正因存在这样的通法，所以这类题目基本上都不会再考了，从应试角度求高中解法没太大意义了。

可以去看b站李伟固讲的半凸半凹调整法