用二次剩余的性质可以构造一个6次的多项式, 比如
f_1(x) = (x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)
对每个奇素数p, -1, 2, -2中总有一个是模p的二次剩余, 所以f_1(x)≡0(mod p)总有解
最低应该是5次就可以, 比如取
f_2(x) = (x^3-2)(x^2+3)
当p≡1(mod 6)时x^2+3≡0(mod p)总有解, 而当p≡-1(mod 6)时x^3(mod p)覆盖模p的完全剩余系, 所以x^3≡2(mod p)总有解

应该是不存在的, 可以用代数数论中的Chebotarev密度定理来证明
因为f(x)无实根, 对这类f(x)的每个复根a+ib, a-ib也都是f(x)的根, 因此f(x)的分裂域L存在由σ(a+ib) = a-ib 确定的自同构 σ∈Gal(L/Q)
按照Chabotarev密度定理, 存在无穷多素数p具有以下性质:
对pO_L的某个素理想因子P, σ(x)≡x^p (mod P)对任意x∈O_L都成立, 这里σ就是上面的那个自同构 σ(a+ib) = a-ib
设这样的素数组成集合S, 若某个p∈S使得f(x)≡0(mod p)有解, 则f存在某个复根α满足α^p≡α(mod P), 那么α≡σ(α)(mod P), 这里σ(α)就是α的共轭
由于每个α都不是实数, 能使得α≡σ(α)(mod P)成立的O_L中的素理想P只有有限多, 而pO_L是P的子集, 从而可以推出除了有限多个素数p以外, 其他p∈S都使得f(x)≡0(mod p)无解
这个过程应该主要就是从Chebotarev密度定理推出结论, 但是我不太熟悉代数数论的基础, 没啥把握