如果存在素数p满足p≤b且p与a互素, 则存在正整数r满足p^r≤b< p^(r+1)
可以证明总存在正整数n满足 an≥b并且
an+1≡p^r (mod p^(r+1))
用关于组合数的Kummer定理应该可以证明, 这时
C(an, b)≡0 (mod p)
所以p与C(an,b)-1互素, 但p整除an+1, an+1不整除C(an, b)-1, 说明这时b不是a-好的, 也就是说b是a-好的的一个必要条件是所有不超过b的素数均整除a
另一个必要条件是b为偶数, 这是因为若an≥b且C(an, b)≡1(mod an+1), 则
b!*C(an,b) = ∏(an+1-i) (1≤i≤b) ≡ b! (mod an+1)
左边与 (-1)^b*b! 模an+1同余, 如果b是奇数, 那对所有满足an≥b的n都有an+1整除2b!, 这不可能成立, 所以b一定是偶数
反过来可以证明前面两个必要条件合在一起也是充分条件, 这是因为b是偶数时 b!*C(an,b)≡b! (mod an+1), 并且第一个条件成立时an+1的每个素因子都与b!互素, 所以C(an,b)≡1(mod an+1)总成立
进而可以推出如果b是a-好的而b+2不是a-好的, 则b是偶数, 并且存在某个素数p满足b<p≤b+2且p不整除a, 只可能p=b+1, 说明b+1是素数