这类四次同余方程可以按Gauss的方法解决
当p≡3(mod 4)时, 由于对每一组好的三元组(x,y,z), (p-x,y,z)同时也是好的三元组, 并且xyz与(p-x)yx模p的二次剩余符号相反, 这时a-b=0
当p≡1(mod 4)时, 设p的一种二平方和分解为p=u^2+v^2, 其中u为奇数且满足u≡1(mod 4) (u可以是负数)
按照Gauss的结论可以得到以下两个引理:
(1) 对于ε={1,-1}, 在所有满足2≤z≤p-2且(z^2-1 | p) = ε的正整数z当中, 使得(z | p) = 1的z的数目与使得(z | p) = -1的z的数目之差等于 -ε*(2 | p)*u - 1
(2) 对于任给的1≤m≤p-1, 在所有满足1≤x≤p-1, 1≤y≤p-1, 且x^2+y^2+m≡0(mod p)的正整数对(x,y)当中, 使得(xy | p) = 1的(x,y)的数目与使得(xy | p) = -1的数目之差等于 -2*(m|p)*u - 2*(2|p)
最终应该可以推出, 当p≡1(mod 4)时
a - b = 4*(p+u^2)*(2 | p)
当p≡3(mod 4)时, 由于对每一组好的三元组(x,y,z), (p-x,y,z)同时也是好的三元组, 并且xyz与(p-x)yx模p的二次剩余符号相反, 这时a-b=0
当p≡1(mod 4)时, 设p的一种二平方和分解为p=u^2+v^2, 其中u为奇数且满足u≡1(mod 4) (u可以是负数)
按照Gauss的结论可以得到以下两个引理:
(1) 对于ε={1,-1}, 在所有满足2≤z≤p-2且(z^2-1 | p) = ε的正整数z当中, 使得(z | p) = 1的z的数目与使得(z | p) = -1的z的数目之差等于 -ε*(2 | p)*u - 1
(2) 对于任给的1≤m≤p-1, 在所有满足1≤x≤p-1, 1≤y≤p-1, 且x^2+y^2+m≡0(mod p)的正整数对(x,y)当中, 使得(xy | p) = 1的(x,y)的数目与使得(xy | p) = -1的数目之差等于 -2*(m|p)*u - 2*(2|p)
最终应该可以推出, 当p≡1(mod 4)时
a - b = 4*(p+u^2)*(2 | p)
