本文研究一个名为《多进制全1素数问题》的数论问题：是否存在无穷多个正整数m，使得全1数Rmᵦ在多个不同进制B下同时为素数？查询得知，该问题在公开文献中尚未被系统性地提出或命名。
在任意进制ᵦ下，由m个1组成的数可以表示为：Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)＝ᵦᵐ⁻¹+ᵦᵐ⁻²+…ᵦ+1这个公式是等比数列求和的结果。问题基本上等价于：能找到多少正整数m，使得对于多个不同的ᵦ值，上述形式的数都是素数。
首先考虑到当m＝p*q是合数时，Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)至少有两个大于1而小于自身的因数(ᵦ^p-1)/(ᵦ-1)、(ᵦ^q-1)/(ᵦ-1)，所以这种情况下Rmᵦ不太可能为素数。因此满足条件的m只能是素数。
当ᵦ+1是任何大于2的素数时，ᵦ进制数11ᵦ＝1*ᵦ+1＝ᵦ+1。所以m＝2时是一个，其中R2ᵦ中的进制数ᵦ＝2、4、6、10、12……。
m＝3时又是一个，其中R3ᵦ的进制数ᵦ＝3、5、6、8、12……换算成10进制R3ᵦ＝13、31、43、73、157……
m＝5时也是一个，其中R5ᵦ的进制数ᵦ＝2、7、12、13……换算成10进制R5ᵦ＝31，2801，22621、30941……
m＝7时也是一个，其中R7ᵦ的进制数ᵦ＝2、3、5、6……换算成10进制R7ᵦ＝127，1093，19531、55987……
m＝11时也是一个，其中R11ᵦ的进制数ᵦ＝5、17……换算成10进制R11ᵦ＝12,207,031、2,141,993,519,227……
m＝13时也是一个，其中R13ᵦ的进制数ᵦ＝2、3、5、7……换算成10进制R13ᵦ＝8191，797161，305175781、16148168401……
借助手机运行Python代码已经发现当m是小于230的素数时均满足至少有两个进制ᵦ使得Rmᵦ为素数。→
全部结果：m = 2, 进制列表 = （2, 4）
m = 3, 进制列表 = （2, 3）
m = 5, 进制列表 = （2, 7）
m = 7, 进制列表 = （2, 3）
m = 11, 进制列表 = （5, 17）
m = 13, 进制列表 = （2, 3）
m = 17, 进制列表 =（ 2, 11）
m = 19, 进制列表 = （2, 10）
m = 23, 进制列表 = （10, 40）
m = 29, 进制列表 = （6, 40）
m = 31, 进制列表 = （2, 14）
m = 37, 进制列表 = （61, 77）
m = 41, 进制列表 = （14, 53）
m = 43, 进制列表 = （15, 21）
m = 47, 进制列表 = （5, 17）
m = 53, 进制列表 = （24, 45）
m = 59, 进制列表 = （19, 70）
m = 61, 进制列表 = （2, 19）
m = 67, 进制列表 = （46, 122）
m = 71, 进制列表 = （3, 6）
m = 73, 进制列表 =（ 11, 15）
m = 79, 进制列表 = （22, 112）
m = 83, 进制列表 = （41, 146）
m = 89, 进制列表 =（ 2, 114）
m = 97, 进制列表 = （12, 90）
m = 101, 进制列表 = （22, 78）
m = 103, 进制列表 = （3, 52）
m = 107, 进制列表 = （2, 19）
m = 109, 进制列表 = （12, 57）
m
m = 127, 进制列表 = （2, 5）
m = 131, 进制列表 = （7, 493）
m = 137, 进制列表 = （13, 166）
m = 139, 进制列表 = （11, 50）
m = 149, 进制列表 = （5, 7）
m = 151, 进制列表 = （29, 55）
结论 从计算结果显示来看，对于前几十个素数 m，这种“协同”现象似乎很普遍。但这可能是一种“小数字错觉”。根据素数定理的启发，随着 m 增大，Rmᵦ的数值呈指数增长，其为素数的概率sim 1/(m*lnᵦ) 会变得非常小。要求对于同一个m，有两个或更多个这样的概率事件同时发生，其联合概率会更快地趋近于零。因此，从概率启发式的角度（类似于 Boklan 和康威对费马素数的分析），满足条件的 m 很可能只有有限个。然而，数论中充满了反直觉的奇迹。素数分布中存在一些长程模式，例如由素数定理描述的趋势，以及像孪生素数猜想所暗示的某种“粘性”。不能完全排除存在某种未知的深刻数学原理，保证了对于无穷多个素数m＝P，总有至少一对“幸运”的进制ᵦ₁, ᵦ₂ 使得 Rmᵦ 为素数。这正是该问题的魅力所在——它处于“有限”与“无限”的推测之间，如同“薛定谔的猫”，其答案有待严格的数学证明来揭示
在任意进制ᵦ下，由m个1组成的数可以表示为：Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)＝ᵦᵐ⁻¹+ᵦᵐ⁻²+…ᵦ+1这个公式是等比数列求和的结果。问题基本上等价于：能找到多少正整数m，使得对于多个不同的ᵦ值，上述形式的数都是素数。
首先考虑到当m＝p*q是合数时，Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)至少有两个大于1而小于自身的因数(ᵦ^p-1)/(ᵦ-1)、(ᵦ^q-1)/(ᵦ-1)，所以这种情况下Rmᵦ不太可能为素数。因此满足条件的m只能是素数。
当ᵦ+1是任何大于2的素数时，ᵦ进制数11ᵦ＝1*ᵦ+1＝ᵦ+1。所以m＝2时是一个，其中R2ᵦ中的进制数ᵦ＝2、4、6、10、12……。
m＝3时又是一个，其中R3ᵦ的进制数ᵦ＝3、5、6、8、12……换算成10进制R3ᵦ＝13、31、43、73、157……
m＝5时也是一个，其中R5ᵦ的进制数ᵦ＝2、7、12、13……换算成10进制R5ᵦ＝31，2801，22621、30941……
m＝7时也是一个，其中R7ᵦ的进制数ᵦ＝2、3、5、6……换算成10进制R7ᵦ＝127，1093，19531、55987……
m＝11时也是一个，其中R11ᵦ的进制数ᵦ＝5、17……换算成10进制R11ᵦ＝12,207,031、2,141,993,519,227……
m＝13时也是一个，其中R13ᵦ的进制数ᵦ＝2、3、5、7……换算成10进制R13ᵦ＝8191，797161，305175781、16148168401……
借助手机运行Python代码已经发现当m是小于230的素数时均满足至少有两个进制ᵦ使得Rmᵦ为素数。→
全部结果：m = 2, 进制列表 = （2, 4）
m = 3, 进制列表 = （2, 3）
m = 5, 进制列表 = （2, 7）
m = 7, 进制列表 = （2, 3）
m = 11, 进制列表 = （5, 17）
m = 13, 进制列表 = （2, 3）
m = 17, 进制列表 =（ 2, 11）
m = 19, 进制列表 = （2, 10）
m = 23, 进制列表 = （10, 40）
m = 29, 进制列表 = （6, 40）
m = 31, 进制列表 = （2, 14）
m = 37, 进制列表 = （61, 77）
m = 41, 进制列表 = （14, 53）
m = 43, 进制列表 = （15, 21）
m = 47, 进制列表 = （5, 17）
m = 53, 进制列表 = （24, 45）
m = 59, 进制列表 = （19, 70）
m = 61, 进制列表 = （2, 19）
m = 67, 进制列表 = （46, 122）
m = 71, 进制列表 = （3, 6）
m = 73, 进制列表 =（ 11, 15）
m = 79, 进制列表 = （22, 112）
m = 83, 进制列表 = （41, 146）
m = 89, 进制列表 =（ 2, 114）
m = 97, 进制列表 = （12, 90）
m = 101, 进制列表 = （22, 78）
m = 103, 进制列表 = （3, 52）
m = 107, 进制列表 = （2, 19）
m = 109, 进制列表 = （12, 57）
m
m = 127, 进制列表 = （2, 5）
m = 131, 进制列表 = （7, 493）
m = 137, 进制列表 = （13, 166）
m = 139, 进制列表 = （11, 50）
m = 149, 进制列表 = （5, 7）
m = 151, 进制列表 = （29, 55）
结论 从计算结果显示来看，对于前几十个素数 m，这种“协同”现象似乎很普遍。但这可能是一种“小数字错觉”。根据素数定理的启发，随着 m 增大，Rmᵦ的数值呈指数增长，其为素数的概率sim 1/(m*lnᵦ) 会变得非常小。要求对于同一个m，有两个或更多个这样的概率事件同时发生，其联合概率会更快地趋近于零。因此，从概率启发式的角度（类似于 Boklan 和康威对费马素数的分析），满足条件的 m 很可能只有有限个。然而，数论中充满了反直觉的奇迹。素数分布中存在一些长程模式，例如由素数定理描述的趋势，以及像孪生素数猜想所暗示的某种“粘性”。不能完全排除存在某种未知的深刻数学原理，保证了对于无穷多个素数m＝P，总有至少一对“幸运”的进制ᵦ₁, ᵦ₂ 使得 Rmᵦ 为素数。这正是该问题的魅力所在——它处于“有限”与“无限”的推测之间，如同“薛定谔的猫”，其答案有待严格的数学证明来揭示
