可能得加上a≠c, b≠d的要求,
如果存在正整数a<c 和正整数b,m,n满足
a^2+b^2 = m^2
c^2+b^2 = n^2
设 i = an, j = bm, k = cm, l = bn
则 i^2 + l^2 = m^2*n^2 = j^2 + k^2
可得 i^2 - j^2 = k^2 - l^2
同时 2ij / 2kl = a / c
取 r = 2bnm, d = i^2 - j^2 = (ac)^2 - b^4, 则
(ar)^2 + d^2 = (i^2+j^2)^2
(cr)^2 + d^2 = (k^2+l^2)^2
(ar)^2 + (br)^2 = (mr)^2
(cr)^2 + (br)^2 = (nr)^2
这时如果 br≠d, 只要取a' = ar, b' = br, c'= cr, 那么a',b',c',d 就是满足要求的一组正整数
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一开始的要求
a^2+b^2 = m^2
c^2+b^2 = n^2
可以从任意两组勾股数 i^2 + j^2 = m'^2 和 k^2 + l^2 = n'^2 构造得到, 因为
(il)^2 + (jl)^2 = (m'l)^2
(jk)^2 + (jl)^2 = (n'l)^2
只要取 a = il, b = jl, c = jk, m=m'l, n=n'l 就可以
但后面br≠d的要求, 没想到有什么直接的方法
这个构造不是我自己想的, 可以参考
W. D. Peeples. (1954). Elliptic curves and rational distance sets. Proc. Amer. Math. Soc. v. 5, 29-33.
J. Lagrange & J. Leech. (1986). Two triads of squares. Math. Comput., 46, 751-758.
前一篇文章中是用一种赋值方法证明除了某些特殊情形外, 不会出现br≠d的结果,
由此可以证明存在正有理数A<B, 使得存在无穷多个有理数Q满足 A^2 + Q^2 和 B^2 + Q^2 都能表示为有理数的平方

贴吧一直吞回复, 不知道咋办了
上面n = n'*l 那里写错了, 应该是n = n'*j
取合适的勾股数满足j 和 i*k互素, 应该就能保证后一个要求
如果得到的a,b,c,d的最大公因数大于1, 约掉这个公因数就能满足条件