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上界288 下界-512 分类讨论就好

令a = a - 1等, 原不等式等价于: 对非负数a、b、c、d、e, 有
-16(∑a)⁵≤∏(4a + 4b - c - d - e)≤9(∑a)⁵,
第一个等号成立当a:b:c:d:e = 1:0:0:0:0,第二个等号成立当a:b :c:d:e=1:1:0:0:0.

不妨设a=max{a,b,c,d,e}, 则当4b + 4c - d - e - a < 0 > 4c + 4d - e - a - b, 4d + 4e≥a + b + c时, 用几何平均——算术平均不等式, 得

不妨设a = max{a, b, c, d, e}, 则当4d + 4e - a - b - c < 0 > 4c + 4d - e - a - b, 4b + 4c≥d + e + a时, 用几何平均——算术平均不等式, 得

当4a + 4b - c - d - e、4b + 4c - d - e - a、4c + 4d - e - a - b、4d + 4e - a - b - c、4e + 4a - b - c - d≥0时, 用几何平均——算术平均不等式, 得

不妨设a = max{a, b, c, d, e}, 则当4b + 4c - d - e - a < 0 > 4d + 4e - a - b - c, 4c + 4d≥e + a + b时, 用几何平均——算术平均不等式, 得

不妨设a = max{a, b, c, d, e}, 则当4b + 4c - d - e - a、4c + 4d - e - a - b、4d + 4e - a - b - c< 0时, 有

若4a + 4b - c - d - e、4b + 4c - d - e - a、4c + 4d - e - a - b、4d + 4e - a - b - c、4e + 4a - b - c - d仅一个为负, 不妨设4d + 4e - a - b - c < 0, 则

若4a + 4b - c - d - e、4b + 4c - d - e - a、4c + 4d - e - a - b、4d + 4e - a - b - c、4e + 4a - b - c - d负个数为偶, 则∏(4a + 4b - c - d - e)≥0≥-16(∑a)⁵.

若4a + 4b - c - d - e、4b + 4c - d - e - a、4c + 4d - e - a - b、4d + 4e - a - b - c、4e + 4a - b - c - d负个数为奇, 则∏(4a + 4b - c - d - e)≤0≤9(∑a)⁵.

4楼第一个不等式的证明
∏(4a + 4b - c - d - e) + 16(∑a)⁵
=25∑[(a-c)²(a²c+7a²d+a²e+2abc+ac²+10b²c+bc²+30bd²+71bde+4c²d+2c²e+9cd²+13cde)
+2a⁴e+2a²b³+3a²e³+7ab³c+57ab²d²+85abc²e+149abcde+64abce²+acd³
+7b³ce+28b²ce²+15bcd³+5be⁴]
≥0.

4楼不等式的加强 对正数a、b、c、d、e, 有