设椭圆的参数为(e,p)，双曲线的参数为(e',p')，这里的e和p分别为离心率和焦准距。记∠PF_1x=θ，直观上我们必须有F_1是左焦点以及θ<π/2，否则长度关系不成立。
依题意有e'=√2以及：
e'*p'/(1-e'*cosθ)=4*e'*p'/(1+e'*cosθ)
解得cosθ=3/(5*√2)。
注意两曲线的半焦距c相同，我们有：
p/p'=(b^2/c)/(b'^2/c)=b^2/b'^2
=(a^2-c^2)/(c^2-a'^2)
=((a/c)^2-1)/(1-(a'/c)^2)
=(1/e^2-1)/(1-1/e'^2)
接下来，只需注意到：
e*p/(1-e*cosθ)=e'*p'/(1+e'*cosθ)
代入即可解得e=(8*√2)/13。

图形大概长成这样。
能够通过几何直观知道θ<π/2之后，很容易就能知道欲研究的焦半径是那个方向上较长的一条还是较短的一条，据此可以列出式子。