10551 2026蒙古数学奥林匹克Day1 T2

原题不完全是这样的，但原题较水

伊朗反演+正弦定理的方法

①显然 I是图中三圆根心，在所求根轴上，下证M也在根轴上。
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②由线性幂差，只需证 B,C到两圆的幂差 为相反数
只需证 B关于 (CEMc) 的圆幂等于 C关于 (BFMb) 的圆幂
设直线BC再分别交(CEMc) 与 (BFMb)于 X,Y，只需证 BX=CY
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③由相交两圆导角得到的顺相似性质：
△MbCY∽△MbAF
因为 AMb = MbC，所以其实是全等，即 AF=CY
同理 BX=AE
故 BX=AE=AF=CY
证毕

还有一个有意思的性质：过I作BC平行线与ABC外接圆交于P,Q，则以D为圆心,DP为半径的圆与上述两圆共轴IM.(D为弧BC中点)

延长BC交圆于C’，延长CB交圆于B’。知CC’=AF=AE=BB’。故M在根轴上，亦易知I在根轴上

延长BC三弦随便做。可以推广至AE=AF而EF不一定过I。