日本少女常见的装可爱口语，稍微带点点感情进去体会一下

ね 是语气助词表达说话者情感用的。另外日语口语里确实很多时候都有省略现象。包括后面的幸せになってほしい的前面其实也省略了主语

至于什么助词可以省略可以先放着不管。根据你的提问 “红圈处为什么用ne”，个人感觉你可能学习的时候跳过了很多基础知识建议先好好学一下基础的句子的构造，组成成分啥的

先卸载多邻国，标日22课简体就提到了什么助词可以省略，当然是省了也没有歧义的才能省

ね是语气词，这里就相当于我啊，我呢的意思

叔叔我啊

我（啊），最喜欢的就是老师了

换成中文来讲，私ね、……和 我啊，……表达几乎差不多，只是翻译可以不翻出来。
然后就是你说的助词省略，有些助词是可以省略的，尤其是在口语方面，说话人为了简略是会减少一些词，我们中文也是一样。

可爱

不是前面省略了助词，是后面省略了主语吧
我呢，（我）最喜欢老师了

相当于我捏

其实这个「私ね」整个都是可以省略的，这部分相当于一个补语

不要对着原文换字，而是要考虑翻译后的本土化自然化

你把“私ね”当成“叔叔我啊”就看懂了