完美素数探秘
在多位素数中，有些素数中的任何一段连续的数字串甚至单个数字都是素数，不仅如此，这些素数的逆序数也是这样。比如素数37，其逆序数73以及组成它的两个数码3和7都是素数。这样的素数称为完美素数。由于单个数码中只有2、3、5和7是素数，但在完美素数中的连续数字串中末尾是2或者5时却不能成为素数，未满足条件，所以构成完全素数的数码只能有3和7这两个。显然完美素数中不能有连续的数码串，因为连续若干个3或者7都不能成为素数，比如377中的77就是合数。已知两位数中只有{37，73}这两个完美素数。三位素数中只有{373}一个完美素数。大于2的偶数位数中都不存在完美素数。由于完美素数只能由3和7交替拼接组成，而这类拼接数串到4位就不可能成为素数了。所以完美素数只有{37，73，373}这三个。
完美素数的严谨数学定义与唯一性定理一、基本定义设正整数 n为k位十进制数， k≥2 ，其各位数字依次记为 d₁d₂d₃…dₓ。若满足以下全部条件：1. 自身素性:n为素数；2. 全子串素性：n的任意一段非空连续子串所表示的整数均为素数；如素数d₁d₂。3. 逆序全素性：n的逆序数同样满足上述两条；4. 数码约束：由条件2可立即推出，n的各位数字只能取自集合{3,7} ，且无连续相同数码（否则子串33,77为合数）。则称 n 为完美素数。二、唯一性定理满足上述定义的完美素数仅有且只有 3 个：{37,73,373}三、证明要点1. 数码唯一性已知单个素数码为 {2,3,5,7} 。若含2或5，则以其结尾的连续子串必为合数，故完美素数仅能由3、7 构成。又连续相同数码构成的子串为合数，故数码必须严格交替:3737…或者7373…。2. 位数约束- 两位数：仅 37,73 满足全子串素性与逆序素性。- 三位数：仅 373 为素数， 737=11*67 为合数。- 四位及以上：交替数3737,7373等等均为11的倍数，且大于11，故必为合数。- 偶数位：交替结构天然被11整除，无完美素数。综上，完美素数构成有限集，且仅有上述3个元素。