命题1：
设素数连乘积的倍数 N = x∏p = (2*3*5*...*p)*x，若素数q>p，
使得 N,(N±1)&(N-q) 的素因子包含不超过(N+1)的所有素数，则N^2+1是素数。
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证明：由 √(N^2+1) < (N+1) 或者 （N+1)^2 = (N^2+1) + 2N > N^2+1 ，
以及 N^2+1 = (N-1)(N+1) + 2，推知：
当 N&(N±1)&(N-q) 的素因子包含不超过 (N+1) 的所有素数时，则小于等于√(N^2+1) 的所有素数小于 (N+1)，必然均不能整除 (N^2+1) 。即知：(N^2+1) 是素数。

N^2+1是素数的充要条件：
（1）N是偶数。
（2）N>2时，个位数a=0,4,6
（3）令N=10X+a，素数P=10Y+b<N+1，b=1,3,7,9；N^2 ≢ -1(modP)

2^n+1是素数的必要条件是：n=2^k。
若2^n + 1是素数，则n必须是2的幂，即存在非负整数k，使得n = 2^k。
这一结论可通过反证法证明：
假设n含有奇因子q > 1，可将n写为n = 2^k * q，此时2^n + 1可因式分解为两个大于1的整数之积，从而为合数，与前提矛盾。因此，n不能有奇因子，即n必须是2的幂。
该结论在多个权威教育平台的数学证明中均有明确阐述，包括百度教育的相关习题解析和解答题23。
此外，已知的费马素数（形如2^(2^k) + 1的素数）也支持这一结论。
目前仅发现k = 0至4时对应素数：3, 5, 17, 257, 6553712。

猜想：
取 N=2*3*5*...*p_n，
p_n < P ≤ kN+1，
0 < k < p_(n+1)，
则：存在k满足 (kN)^2 ≢ -1(modP)，使得 N^2+1 是素数。