定义在E上的复值函数ƒ，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称ƒ为E上的可测函数。

测度和测度空间
设Χ是非空集,E是Χ上的集类,定义在E上的函数称为集函数（因为自变元是属于E，它是Χ的子集 。设R是Χ上的环，μ是定义在R上的取非负的广义实值(可以取值+∞)的集函数，如果满足：①μ(═)＝0(═是空集)；②(可列可加性)对任何一列互不相交的An∈R(n=1,2…,)设(Χ,φ)是一个可测空间,μ是定义在φ上的测度,则称(Χ,φ),μ)是测度空间。特别,(R1,L,m)及(R1,Lg,mg)分别称为（直线上的）L测度空间和L-S 测度空间。测度空间(Χ,φ,μ)中的测度μ 除了平移、反射不变性以及余集(因为X可能不在S中）的性质外,具有勒贝格测度m的其他性质。由于φ是σ环,对集的极限运算封闭，所以测度空间是建立具有良好的极限性质的积分的基础。
设A是测度空间(Χ,φ),μ)上的可测集。如果μ(A)＝0，则称A为μ零集。如果(Χ,φ),μ)中任何一个μ零集的任何子集都是可测集，则称（Χ，φ), μ）为完全测度空间。例如(R1,L,m)，(R1,Lg,mg)都是完全的、全σ有限的测度空间。

数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定**的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的**上，就发展出测度的概念

数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的**被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

复空间的测度不变性，导致实空间和虚空间的变换，既是引力波的解。而电磁场的是引力方程的特解。

su（3）群是最基本的复空间模型。构建su3
的测度是理论的开始。

同 L积分建立过程完全一样，可以建立测度空间上的积分概念,只要将那里的测度m换成现在的μ即可。L积分所具有的大部分性质对一般的测度空间上的积分也是成立的。在测度空间中也有积分平均收敛,平方平均收敛或更一般的p次平均收敛的概念以及相应的性质。

从经验几何到演绎几何是一个飞跃，演绎几何的基本点是，尽可能排除对直观性的依赖，对几何图形的性质进行抽象的、纯理性的思考．

理解了空间是物质的一部分，我们再构造空间模型时就知道：复空间有三部分组成。
一是框架空间。即由所有物质构成的接**直的空间。在宏观尺度必不可少，在微观尺度作用甚微。我们传统的真空就是框架空间。牛顿力学和狭义相对论是其特例。
二是背景空间。既是离被描述物质最直接改变空间测度的物质。比如地球测度，太阳测度，银河测度。它对空间的贡献最直接。比如在地球表面直接使复空间的实空间测度和虚空间测度发生可以测量的偏移。可以使中微子早于光子到达目的地。广义相对论是其特例。
三是复物质本源空间本身，它揭示物质的本源，描述基本物质的结构。弦论是其特例。
本源空间加框架空间则量子力学是特例。

空间本身也是一个函数。

空间函数的描述是测度函数。

su3的不变量是？

群不仅包括离散群 而且还包括一大部分连续群这种连续群是定义在一个群空间也是一个拓扑空间上的群并且所有的群运算在此拓扑空间中是连续的。

将黎曼几何扩张到复变函数范围可以解决问题。

如果将物理学比作实体艺术，则数学就是抽象艺术。二者的本质源泉都是客观存在。