关于拉格朗日函数的一个问题【相对论吧】

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关于拉格朗日函数的一个问题

先说一下我对Hamilton‘s principle的理解
如果认为牛顿力学是公理的话，我认为之所以Hamilton‘s principle可以得出和牛顿力学相同的结果，只不过是因为让L=T-U之后，在用变分法求极值得到拉格朗日方程的时候，方程正好等价于牛顿第二定律罢了，我只见到过在自有条件下拉格朗日方程等价于牛顿第二定律的证明。没见过有限制条件下二者等价的证明，但也一直在用那个undetermined multipliers的方法。
问题就是：
各位是否见过一般条件下的证明，我想知道，告诉我哪有就行，我自己去看。
或者我在对Hamilton‘s principle的理解上有问题的话，也请指点一下~
多谢

送TA礼物

1楼2012-04-08 14:45回复

不是这个意思，自由条件（外力都是保守力）下拉格朗日方程等价于牛顿第二定律的证明如下：
直角坐标系下得拉格朗日方程∂L/∂xi-d(∂L/∂xi')/dt=0,第一项∂(T-U)/∂xi=∂T/∂xi-∂U/∂xi=-∂U/∂xi(因为T函数不显含xi）所以第一项就是合外力F=-∂U/∂xi
第二项因为U不显含xi',所以∂(T-U)/∂xi'=∂T/∂xi'=mxi’，d(∂L/∂xi')/dt=mxi''
于是拉格朗日函数变成了F=-∂U/∂xi=∂L/∂xi=d(∂L/∂xi')/dt=mxi''这就
等价于牛顿第二定律了

3楼2012-04-08 15:14

不感兴趣

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问题在于这个证明是外力均为保守力，如果外力有支持力等非保守力的话，就要用到undetermined multipliers来解，也就是说有费保守力，拉格朗日方程也应该和牛二等价。我想问的是后者怎么证明。
补充一句，所有的前提是我以牛顿力学为公理，所以需要证明拉格朗日函数和牛二等下（在有支持力等非保守力的条件下，先不考虑摩擦耗散）

5楼2012-04-08 15:16

这样重新定义牛二确实就解决了问题，不过这样在直角坐标系的牛二就是广义的一个子集了。
我觉得至少都选用直角坐标系的时候，拉格朗日函数和牛二应该是等价的，如果直角坐标系中等价了，那么广义坐下也就等价了。但我不知道如果有限定条件的话怎么证明
（我不是要证明Q=mq''，用广义坐标的话，这个m不能用惯性质量我知道）

6楼2012-04-08 15:27

有道理，脑残了，也就是说在有约束条件的时候，在直角坐标系下的拉格朗日函数不能表示成
L（xi，xi',t)=T(xi')-U(xi),因为这样的话就把约束力忽略掉了。
那就用广义坐标，那么我原来的问题就变成了如何证明在有约束条件的情况下，广义坐标下得到的拉格朗日方程，等价于直角坐标系下的牛顿第二定律。
前提还是只把直角坐标系下的牛顿力学作为公理，这样还是需要证明二者等价的
也就是证明∂L/∂qj-d(∂L/∂qj')/dt=0这个方程等价于-∂U/∂xi+Fi=mxi''
Fi是约束力在i方向的分量，给定给定xi=xi（qj，t）（括号里的qj代表所有广义坐标）

8楼2012-04-08 15:55

是证明∂L/∂qj-d(∂L/∂qj')/dt=0在有约束条件的情况下等价于-∂U/∂xi+Fi=mxi''

9楼2012-04-08 16:03

还在吗吧主？
我认为拉格朗日方程和牛顿力学二者的等价性是应该要证明的
如果定义广义牛二的话，就相当于以拉格朗日方程为公理了。
那么还是需要证明在以拉格朗日方程为公理的时候，能推出“狭义”的牛顿第二定律吧

10楼2012-04-08 16:36

呃。。。因为好久没人理我，我就又开了个贴刚刚。你的意思是二者不完全等价吗？
我看过Classical Dynamics by Thornton and Marion还有classical_mecha_gold？stein_3ed这两本书。前者在证明二者等价的时候都没有讨论外力存在约束力的情况，后者并未证明二者等价。所以我才来问问看具体哪本书里面有一般情况的证明?
而且拉格朗日函数可以表示为L=T-U有很多限制条件。在约束条件不能用f（x，x'，t）=0表示
的时候是不是L=T-U就不行了。

14楼2012-04-08 17:55

不感兴趣

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貌似第二本书的第一章有讲，我再看看。。。

15楼2012-04-08 18:04

嗯，我看过那个D'Alemert‘s principle了，貌似你前面那里应该是说反了吧
他从牛二出发，但是最后加了条件Qj=-∂V/∂qj,才能推出L=T-V，才有拉格朗日方程

18楼2012-04-08 19:42

我在看看，谢谢啦~

19楼2012-04-08 19:55

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