问一下有没有一个连续函数他的积分收敛但是数列发散

这不很好构造啊，在每个整数点附近给一个连续的脉冲就是。
甭管是数列还是级数都只关注整数点处的值，也就是脉冲的高度，积分积的则是脉冲的面积，而脉冲的宽度是可以控制的，所以选取适当宽度的脉冲就能让积分收敛。