那些奇怪的积分—不定积分—新手礼包

这是三道积分题目，以下是详细的解答过程：
题目(1)
\int \frac{1+\sin(\ln x)}{1 + \cos(\ln x)} \, dx
1.令t=\ln x，则x = e^{t}，dx=e^{t}dt
- 原积分变为
\int \frac{1+\sin t}{1+\cos t}e^{t}dt
2.利用三角函数的半角公式\cos t = 2\cos^{2}\frac{t}{2}- 1，\sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}
- 则积分变为
\int \frac{1 + 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\cos^{2}\frac{t}{2}}e^{t}dt=\int\left(\frac{1}{2\cos^{2}\frac{t}{2}}+\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}\right)e^{t}dt
- 进一步化简为
\int\left(\frac{1}{2}\sec^{2}\frac{t}{2}+\tan\frac{t}{2}\right)e^{t}dt
3.利用积分公式\int e^{t}(f(t)+f^{\prime}(t))dt = e^{t}f(t)+C
- 这里f(t)=\tan\frac{t}{2}，f^{\prime}(t)=\frac{1}{2}\sec^{2}\frac{t}{2}
- 所以原积分结果为
e^{t}\tan\frac{t}{2}+C=x\tan\frac{\ln x}{2}+C
题目(2)
\int \frac{\arctan x}{(1 + x^{2})^{3}} \, dx
1.令t = \arctan x，则x=\tan t，dx=\sec^{2}t\,dt
- 原积分变为
\int\frac{t}{\sec^{6}t}\sec^{2}t\,dt=\int t\cos^{4}t\,dt
2.利用分部积分法\int u\,dv=uv-\int v\,du，令u = t，dv=\cos^{4}t\,dt
- 首先求\int\cos^{4}t\,dt：
- \cos^{4}t=\left(\frac{1 + \cos 2t}{2}\right)^{2}=\frac{1 + 2\cos 2t+\cos^{2}2t}{4}
- \cos^{2}2t=\frac{1+\cos 4t}{2}
- 所以\cos^{4}t=\frac{3 + 4\cos 2t+\cos 4t}{8}
- \int\cos^{4}t\,dt=\frac{1}{8}\left(3t + 2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right)+C
- 然后进行分部积分：
- v=\frac{1}{8}\left(3t + 2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right)，du = dt
- 原积分结果为
\frac{t}{8}\left(3t + 2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right)-\frac{1}{8}\int\left(3t + 2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right)dt
=\frac{t}{8}\left(3t + 2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right)-\frac{3}{16}t^{2}-\frac{1}{8}\cos 2t-\frac{1}{128}\cos 4t + C
=\frac{1}{8}\arctan x\left(3\arctan x+ 2x\sqrt{1 - x^{2}}+\frac{1}{4}(4x^{3}- 3x)\right)-\frac{3}{16}(\arctan x)^{2}-\frac{1}{8}\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}-\frac{1}{128}(1 - 8x^{2}+ 8x^{4})+C

题目(3)
\int \frac{\ln x}{x^{2}(1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}} \, dx
1.令x=\sin t，则dx=\cos t\,dt，\ln x=\ln(\sin t)
- 原积分变为
\int\frac{\ln(\sin t)}{\sin^{2}t\cos^{3}t}\cos t\,dt=\int\frac{\ln(\sin t)}{\sin^{2}t\cos^{2}t}dt
2.利用\cos^{2}t = 1-\sin^{2}t
- 积分变为
\int\frac{\ln(\sin t)}{\sin^{2}t(1 - \sin^{2}t)}dt=\int\frac{\ln(\sin t)}{\sin^{2}t - \sin^{4}t}dt
3.令u=\sin t，则du=\cos t\,dt
- 积分变为
\int\frac{\ln u}{u^{2}-u^{4}}du
4.分解分式\frac{1}{u^{2}-u^{4}}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u^{2}}+\frac{C}{u - 1}+\frac{D}{u + 1}
- 通过计算得到A = 0，B=1，C=\frac{1}{2}，D =-\frac{1}{2}
- 积分变为
\int\left(\frac{\ln u}{u^{2}}+\frac{\ln u}{2(u - 1)}-\frac{\ln u}{2(u + 1)}\right)du
- 分别计算各项积分：
- \int\frac{\ln u}{u^{2}}du=-\frac{\ln u}{u}-\int\left(-\frac{1}{u^{2}}\right)du=-\frac{\ln u}{u}-\frac{1}{u}+C_{1}
- \int\frac{\ln u}{2(u - 1)}du和\int\frac{\ln u}{2(u + 1)}du可以通过部分分式和对数函数积分公式计算
- 最后将结果代回t和x得到最终答案。
这三道题目都涉及到了换元积分法和分部积分法，需要对三角函数和对数函数的积分有较好的掌握。

。。，，
大部分开窍qiou个人nin
都会in用wolframalpha
输入series，arcsinhx唉。
(偶俺个破改版无了)
LNX≠inx。mathdf勿信弹窗：
integral-calculator,,,
maple超级计算器(勿氪)
symbolab(勿氪)。
。。
...,,,