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10434 VMO 2026

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给定锐角三角形ABC (AB < AC) 内接于圆(O)。令E, F分别是点A关于B,C 的对称点。令M为线段BC的中点。在直线 AM 上分别取点I和P,使得 ΑΙΕ 是以I为顶点的等腰三角形,且△APF 是以P为顶点的等腰三角形。令T为直线IE和PF的交点。证明 T在圆(O) 上。令 D为直线BI和CP的交点。令J为直线 TD 和 IP 的交点。令 X为直线 OT 和BC的交点。直线AT, AX 分别交 EF 于点L,U。证明△ТАЈ, ∆ТІР, △TEF 和 △TLU 的四个外接圆共点于除T之外的另一个点。


  • Hbar
  • 知名人士
    11
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越南出几何怎么老是把一手好牌打的稀烂...
不难发现T是A-Dumpty点,涉及第一问的定义因此意义不明,纯粹为了复杂度瞎拼凑的,还不如直接告知T就是A-Dumpty点呢,然后题干只保留AEFTIPHLU这些点,难度没有明显下降,会成为短小精悍的一题


2026-04-18 11:30:55
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  • Hbar
  • 知名人士
    11
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得到T是A-Dumpty点后,U可以位似理解,H为IEPF密克点,由于IP平分EF可得ITPH调和,由阿氏圆知H在圆TIJ上,最后TLUH共圆是最难的一部分,但利用消点的思想可以完成(如下图)


  • 蝈锅
  • 铁杆吧友
    8
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在图中以ABC外接圆为单位圆
设A=Z1^2;B=Z2^2;C=1
则计算可得T点复数表示为
-(Z1^2*Z2^2 + Z1^2 - 2*Z2^2)/(- 2*Z1^2 + Z2^2 + 1)
代入公式可知T A B C四点共圆
再计算可知四个圆共点于T及另外一点S
-(2*Z1^6 - 2*Z1^4*Z2^2 - 2*Z1^4 + Z1^2*Z2^4 + 4*Z1^2*Z2^2 + Z1^2 - 2*Z2^4 - 2*Z2^2)/(2*Z1^4 - 4*Z1^2*Z2^2 - 4*Z1^2 + Z2^4 + 4*Z2^2 + 1)
故命题成立


  • 贴吧用户_GZaM13y
  • 核心吧友
    7
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mol


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