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设∆ABC为锐角三角形，P 与 Q 为∆ABC的一组等角共轭点（P 点在三角形内部）。设 X, Y, Z 分别为 P 点到 BC, CA, AB 三边的垂足。记 K 为∆XYZ的垂心。点 E, F 分别在直线 AC, AB 上，使得∠BPE=∠CPF=90°。求证： QK 垂直于EF 。

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来自Android客户端1楼2026-02-05 23:18回复

注意∠PEF+∠PFE=∠BPC=180°-∠YXZ=∠YKZ，∠PFA=∠PBA-∠BPC+90°=∠QBX-90°+∠YXZ=∠QZK=90°-∠KZF，所以FP⊥ZK，同理EP⊥YK，只需要证sin∠PEF/sin∠PFE=sin∠YKQ/sin∠ZKQ。注意sin∠YKQ/sin∠ZKQ=(YQsin∠QYK)/(ZQsin∠QZK)=(sin∠BAP/sin∠CAP)(sin∠AEP/sin∠AFP)=sin∠PEF/sin∠PFE即可。
或者你可以把它翻译成几何一点的表述：设PU⊥AB于U，PV⊥AC于V，QM⊥ZK于M，QN⊥YK于N，同上导角得到许多相似，从而有PF*QM=PU*ZQ=PV*YQ=PE*QN，故而△QMN∽△PEF，再简单导角即证。

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来自Android客户端2楼2026-02-06 04:39

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